$\LaTeX$ 公式

1 数学模式和文本模式

1.1 行内公式 / 正文数学公式

使用单个美元符号 $...$ 来表示。

交换律是 $ a+b=b+a $，如 $ 1+2=2+1=3 $

1.2 行间公式 / 显示数学公式 / 列表公式

使用 \[ ... \] 或者 $$...$$ 来表示。

交换律

$$ a+b=b+a, $$

如

$$ 1+2=2+1=3. $$

虽然书上说用 $$...$$ 不够严谨，应当避免使用，但是大多数的编译器只能识别 $$...$$ 而不能识别 \[ ... \]，比如博客园和 VS Code 自己的 OpenPreview 都是无法识别的。考虑到本身使用的并不是多么严谨的 $\LaTeX$，就还是使用 $$...$$ 了；另外最好把单独占据一行的显示公式放在单独的行内。

1.3 数学模式和文本模式混合

数学模式和文本模式不同。数学模式会改变字符字体和间距，还会忽略空格，汉字和西文文本也不能直接输入。

在数学公式中插入汉字：\text{汉字...} 命令

$$ \text{被减数} - \text{减数} = \text{差} $$

2 数学结构

2.1 上标和下标

上标和下标是常见的数学结构。上标可位于符号的右上方或者正上方；下标可位于符号的右下方或者正下方。

2.1.1 单字符和多字符

上标用特殊字符 ^ 表示，下标用特殊字符 _ 表示。

$$ a_0 = 3^2 $$

当上标和下标多于一个字符时，需要使用 {...} 分组确定上下标范围。

$$ A_{ij} = 2^{i+j} $$

式子中的空格（包括单个换行）是没有实际作用的，但是适当的空格可以将代码分隔的好看些。

我建议都使用 {...} 的，毕竟这也很符合编程的规范。

2.1.2 上下标的同时使用和嵌套

同时使用

$$ A_{i}^{k} $$

嵌套

$$ 3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^3}}}} $$

2.1.3 特殊的两种上标

撇号

要注意四点：

1. 可用符号 \prime 表示
2. 可以连续使用
3. 可以与下标混用
4. 不能与上标直接混用，要加上 {...}

一般撇号

$$ a = a' $$

与下标混用 & 连续使用

$$ b_0' = b_0'' $$

不能与上标直接混用

$$ {c'}^2 = (c')^2 $$

角度

没有直接表示角度的符号，用符号 \circ 的上标表示。

$$ A = 90^\circ $$

2.1.4 其他

在显示公式中，多数数学算子的上下标在正下方或者正上方；

$$ \max_n f(n) = \sum_{i=0}^n A_i $$

但对积分号等个别算子，显示公式中的上下标也在右上右下角。

$$ \int_0^1 f(t) d\ t = \iint_D g(x,y) d\ x d\ y $$

在行内公式中，所有数学算子的上下标都在角标的位置，如将上面一个式子放入行内将得到 $ \max_n f(n) = \sum_{i=0}^n A_i $ 。

2.1.5 上下划线和花括号

上划线：\overline；下划线：\underline

$$ \overline{a+b} = \overline a + \overline b $$

$$ \underline a = (a_0, a_1, a_2, \dots) $$

而且这种结构可以任意嵌套或与其他数学结构组合。

$$ \overline{\underline{\underline a} + \overline{b}^2} - {\underline n} $$

在公式上下加箭头的命令，使用方法与 \overline 和 \underline 没有区别。

上左箭头：\overleftarrow

$$ \overleftarrow{a+b} $$

上右箭头：\overrightarrow

$$ \overrightarrow{a+b} $$

下左箭头：\underleftarrow

$$ \underleftarrow{a+b} $$

下右箭头：\underrightarrow

$$ \underrightarrow{a+b} $$

使用 \overbrace 和 \underbrace 带上花括号。

$$ \overbrace{a+b+c} = \underbrace{1+2+3} $$

使用上下标在花括号上作标注。

$$ ( \overbrace{a_0,a_1,\dots,a_n}^{\text{共 $n+1$ 项}}) = ( \underbrace{0,0,\dots,0}_{n},1) $$

花括号交错暂时不考虑。

2.2 分式

分式也是很常见的结构。分式用 \frac 分子分母 得到。

$$ \frac 12 + \frac 1a = \frac{2+a}{2a} $$

在行内公式中,分式的分子分母都会用较小的字号排版,以免超出文本行高度。如：通分计算 $ \frac 12 +\frac 1a $ 得 $ \frac{2+a}{2a} $

已经在分子或者分母内的公式，也会按行内公式大小排版。

$$ \frac {1}{\frac 12 {(a+b)}} = \frac {2}{a+b} $$

如果还是需要指定较大或者较小的样式，则使用显示样式命令 \dfrac 和 \tfrac。

$$ \tfrac 12 f(x) = \frac {1}{\dfrac 1a + \dfrac 1b + c} $$

连分式使用 \cfrac。还有三个参数 l，c，r表示左中右对齐，并且默认是居中。 并不是所有地方支持，谨慎使用。

注：博客园中可使用，但是 OpenPreview 中无法识别参数。

无参数

$$ \cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1+x}}} $$

有参数

$$ \cfrac[r]{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac[l]{3}{1+x}}} $$

2.2.1 二项式系数

类似分数分成上下两半的数学结构。使用 \binom 来输入二项式系数，其用法和 \frac 相似。

$$ (a+b)^2 = \binom 20 a^2 +\binom 21 ab + \binom 22 b^2 $$

也有指定大小的形式 \tbinom 和 \dbinom。

$$ (a+b)^2 = \tbinom 20 a^2 \tbinom 21 ab + \tbinom 22 b^2 $$

2.2.2 其余类分式数学结构

略。

2.3 根式

使用单参数指令 \sqrt 得到，可用 $[number]$ 在 sqrt 后带一个参数，表示开方次数。

$$ \sqrt 4 =\sqrt[3]{8} =2 $$

嵌套使用根式是相当常见的。

$$ \sqrt[n]{\frac{x^2+\sqrt 2}{x+y}} $$

开方的次数表示若复杂则应使用等价的指数形式。

$$ (x^p+y^q)^{\frac{1}{1/p+1/q}} $$

2.4 矩阵和行列式

2.4.1 矩阵环境

矩阵的括号可以是方括号，也可以是圆括号，还可以是大括号,甚至没有括号等等。括号的不同就是矩阵环境的不同。

matrix 环境

$$ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} $$

bmatrix 环境

$$ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$

vmatrix 环境

$$ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} $$

pmatrix 环境

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$

Bmatrix 环境

$$ \begin{Bmatrix} a & b \\ c & d \end{Bmatrix} $$

Vmatrix 环境

$$ \begin{Vmatrix} a & b \\ c & d \end{Vmatrix} $$

2.4.2 常规表示

不同的列用符号 & 分隔，行用 \\ 分隔。

$$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix} $$

矩阵中常常使用各种省略号，即 \dots，\vdots，\ddots 等。

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ & \ddots & \vdots \\ 0 & & a_{nn} \end{bmatrix}_{n \times n} $$

2.4.3 分块矩阵

分块矩阵可以理解为矩阵的嵌套。

$$ \begin{pmatrix} \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{matrix} & \text{\Large 0}\\ \text{\Large 0} & \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{matrix} \end{pmatrix} $$

2.4.4 矩阵的其他用法

在行内公式中使用很小的矩阵，用的矩阵环境是 smallmatrix 环境。

矩阵在行内表示 $
\begin{smallmatrix}
x & -y \
y & x
\end{smallmatrix}
$，但是没有括号。

用 \substack 命令排版列矩阵，用以处理多行内容的插入。

$$ \sum_{\substack{0<i<n \\0<j<i}} A_{ij} $$

或者是用 \subarray 指令，还必须指定对齐方式为 l（左对齐），c（居中），r（右对齐）。

$$ \sum_{ \begin{subarray}{l} i<10 \\ j<100 \\ k<1000 \end{subarray} } X(i,j,k) $$

3 符号和类型

数学结构是数学公式的骨架，而数学符号是数学公式的骨肉。

数学符号的输入：一小部分符号是可以直接从键盘上输入的，如字母 $a$，$b$，$x$，$+$，$=$，$()$；但是大多数符号需要使用 $\LaTeX$ 命令来输入。

数学符号总共有 $8$ 个类别：普通符号、巨算符、二元运算符、关系符、开符号。闭符号、标点和变量族。

思想准备：虽然我一直在说要避免去涉及到 $\LaTeX$ 的粗斜体、字体、字号、间距和行距等细节的问题，但是在符号和类型这一节就不得不去考虑这些问题了。因为这些规定有数学或者物理含义。

3.1 字母和普通符号

数学符号的最基本内容就是字母表。

3.1.1 拉丁字母

也就是拉丁字母 $A$，$B$，$C$，$D$，$x$，$y$，$z$。它们都可以直接从键盘输入，默认使用意大利形状（注意是形状而不是字体/体）。

数学字母可以使用多种字体。使用命令就可以为字母确定字体。

数学环境的默认字体 \mathnormal

$$ ABCHIJXYZabchijxyz12345 $$

意大利体 \mathit

$$ \mathit{ABCHIJXYZabchijxyz12345} $$

罗马体 \mathrm

$$ \mathrm{ABCHIJXYZabchijxyz12345} $$

粗体 \mathbf

$$ \mathbf{ABCHIJXYZabchijxyz12345} $$

无衬线体 \mathsf

$$ \mathsf{ABCHIJXYZabchijxyz12345} $$

打字机体 \mathtt

$$ \mathtt{ABCHIJXYZabchijxyz12345} $$

手写体 \mathcal

$$ \mathcal{ABCHIJXYZabchijxyz12345} $$

花体 \mathscr

$$ \mathscr{ABCHIJXYZabchijxyz12345} $$

黑板粗体 \mathbb

$$ \mathbb{ABCHIJXYZabchijxyz12345} $$

哥特体 \mathfrak

$$ \mathfrak{ABCHIJXYZabchijxyz12345} $$

再就是要明白为什么要使用不同的字体，以及字体之间细微的差别。

比如只有变量使用默认的意大利体；数学常数通常使用直立的罗马体，如数学常数 $\mathrm{e}$ ，类似的还有虚数单位 $\mathrm{i}$。当然这里也只是举了几个很简单的例子。

默认的数学字母字体 \mathnormal 不仅使用了和正文不同的数学字体，而且字母之间的间距比正文也要大。而其他数学字体字母的间距和正文几乎没有区别。所以使用 $xyz$ 通常表示三个字母的乘积（间距较大），而如果要表示一个多字母的长变量名 $\mathit{xyz}$，则应该使用 $\mathit{xyz}$ 等形式。

3.1.2 希腊字母

希腊字母同样有大写/小写，也有直立体/倾斜体的区别。不像拉丁字母有统一的字体命令，每个希腊字母都有自己单独的命令。但是命令是有规律可循的。我们就以 $\pi$ 为例来讲。

首先是 \pi 命令：$\pi$，这个是小写的、斜体的，一般用作变量。可以发现命令就是这个希腊字母的读法，是最基础的命令。

再就是 \Pi 命令：$\Pi$，这个是大写的希腊字母。在基础的命令上把首字母大写就是大写的命令了。

还有 \varpi 命令：$\varpi$。这个是小写希腊字母的变体；还有 \varPi 命令：$\varPi$，这个是大写希腊字母的变体。加上 var 的前缀就是变体的命令。

而 \uppi 命令：$\uppi$，这个是小写的、直立的，一般用作常数，如圆周率。\uppi 命令需要数学字体宏包 upgreek。可能会有无法显示的情况。

常用希腊字母列表（不完全）：

3.1.3 希伯来字母

“阿列夫 $0$”：\aleph 命令：$\aleph_0$ (此处举显然的例子)

\beth 命令：$\beth$

\daleth 命令：$\daleth$

\gimel 命令：$\gimel$

3.1.4 普通符号

普通符号通常是一些字母的变形、一元运算符或者是单纯的图形符号。这里举几个常见的普通符号。

无穷：\infty 命令：$\infty$

角度：\angle 命令：$\angle$

垂直：\bot 命令：$\bot$

三角形 或 拉普拉斯算子：\triangle 命令：$\triangle$

\hbar 命令：$\hbar$

偏导数：\partial 命令：$\partial$

向量微分算子：\nabla 命令：$\nabla$

任意：\forall 命令：$\forall$

存在：\exists 命令：$\exists$

空集：\varnothing 命令：$\varnothing$

非：\neg 命令：$\neg$

3.1.5 数学重音

这里举几个常见的重音。

单字母

\hat a 命令：$\hat a$

\bar a 命令：$\bar a$

\vec a 命令：$\vec a$

\dot a 命令：$\dot a$

多字母

\widehat{abc} 命令：$\widehat{abc}$

3.2 数学算子

数学算子分为三种（自定），第一类是巨算子，第二类是单字符算子，第三类是文字名称算子。

3.2.1 巨算子

它们的大小是随显示公式和行内公式变化的，而且通常比一般的数学符号大一些。下面举一些常见的例子。

求和：\sum 命令：$\sum$

求积：\prod 命令：$\prod$

积分：\int 命令：$\int$

二重积分：\iint 命令：$\iint$

\oint 命令：$\oint$

三重积分：\iiint 命令：$\iiint$

\bigcup 命令：$\bigcup$

\bigcap 命令：$\bigcap$

\bigvee 命令：$\bigvee$

\bigwedge 命令：$\bigwedge$

\bigoplus 命令：$\bigoplus$

\bigotimes 命令：$\bigotimes$

注意不要把巨算子和形状相似的其他类型符号混淆。典型的例子就是大写希腊字母 $\Sigma$（\Sigma）与求和号 $\sum$（\sum）。它们在各个方面都有区别。

数学算子通常可以带上下标。在显示公式中，积分号的上下标默认在角标位置，而其他巨算子则在上下方（作为上下限），例如。

$$ \mathcal{F}(x) = \sum_{k=0}^\infty \oint_0^1 f_k(x,t) \,\mathrm{d}t $$

3.2.2 单字符算子

积分式的写法。微分算子 $\mathrm{d}$ 应该使用直立罗马体，后面的变量则仍是使用默认的意大利体，并且用 \, 与前面的被积函数分开。

$$ \int f(x) \,\mathrm{d} x $$

但是一般不添加单字符算子和变元之间的间距。不过微分与被积函数、多个微分变元之间，仍然需要留有间距。

$$ \iiint\limits_{0<x,y,z<1} f(x,y,z) \,\mathrm{d} x \,\mathrm{d} y \,\mathrm{d} z $$

这类只有一个字符的数学算子，还有 Laplace 算子 $\triangle$ （大写希腊字母 \Delta，也可用 \triangle）、偏微分算子 $\partial$ （\partial）、梯度算子 $\nabla$（\nabla）等一般都只作为一个普通数学符号排版，没有提供额外的间距，需要自己添加。

3.2.3 文字名称算子

文字名称算子用直立罗马体排印，如 $\log x$，$\lim f(t)$ 中的 $\log$ 和 $\lim$。

前者是不带上下限的“纯”算子，一般就是常用的数学函数。其上标是角标形式。

对数：

• \log 命令：$\log$
• \lg 命令：$\lg$
• \ln 命令：$\ln$

三角函数：

• \sin 命令：$\sin$
• \cos 命令：$\cos$
• \tan 命令：$\tan$
• \csc 命令：$\csc$
• \sec 命令：$\sec$
• \cot 命令：$\cot$
• \arcsin 命令：$\arcsin$
• \arccos 命令：$\arccos$
• \arctan 命令：$\arctan$
• \sinh 命令：$\sinh$
• \cosh 命令：$\cosh$
• \tanh 命令：$\tanh$
• \coth 命令：$\coth$

带上下限的数学算子，使用起来和巨算子相似。

\lim 命令：$\lim$

\max 命令：$\max$

\min 命令：$\min$

\inf 命令：$\inf$

\gcd 命令：$\gcd$

\det 命令：$\det$

$$ \varlimsup_{k\to\infty} A_k = \lim_{J\to\infty} \lim_{K\to\infty} \bigcap_{j=1}^J \bigcup_{k=j}^K A_k $$

3.2.4 取模和同余

略。

3.3 二元运算符和关系符

首先说一下什么是二元运算符和关系符。常见的，能从键盘上直接输入的二元运算符有加号 $+$，减号 $-$，星号 $*$；二元关系符有等号 $=$，大于号 $>$，小于号 $<$ 和表示集合的关系的符号 $:$ 。

它们和普通符号是有区别的，在公式使用中会产生间距。比如斜线形式的除号 $/$ 并不是二元运算符，只是普通符号，即使表示除法也不额外增加间距；表示差集的符号 \setminus 与普通符号 \backslash 是同一个字符，但类型不同，因而会产生不同的间距，见下面的例子。

$$ H\backslash G \text{和} H\setminus G $$

二元运算符和关系符有不同和相同的地方。它们都用在公式中间，在符号的两边留有一定的间距。运算符的间距小一些，关系符的间距略大一些，例如。

$$ 0-2=-2 $$

都是一样的符号却产生了不同的间距。原因是左边的是减号，是运算符，而右边的是负号，是关系符。当然在大多数情况下，我们不需要去关注这些 $\LaTeX$ 会自动处理的细节。

3.3.1 二元运算符

下面列举常见的二元运算符。

乘法：\times 命令：$\times$

点乘：\cdot 命令：$\cdot$

除法：\div 命令：$\div$

正负号：\pm 命令：$\pm$

\mp 命令：$\mp$

\circ 命令：$\circ$

\wedge 或 \land 命令：$\wedge$

\vee 或 \lor 命令：$\vee$

并：\cup 命令：$\cup$

交：\cap 命令：$\cap$

\otimes 命令：$\otimes$

异或：\oplus 命令：$\oplus$

同或：\odot 命令：$\odot$

3.3.2 二元关系符

二元关系符是 $\LaTeX$ 中数量最为庞大的一类数学符号：除了有普通的二元关系符及它们的否定形式外，关系符中各种箭头通常也单独列为一类。

一般地，二元关系符的否定可以在关系符前加 \not 得到，如使用 $s\not\in T$ 就得到：

$$ s\not\in T $$

此外，$\LaTeX$ 也为很多二元关系符的否定形式单独定义了命令，单独定义的命令有时会使用单独的字体符号，比直接使用 \not 得到的效果更好，如使用 $s \notin T$ 就得到：

$$ s \notin T $$

斜线的位置更加合理一些。因此在使用否定的二元关系符的时候，应该尽量使用单独的符号命令，在没有单独的符号的时候，才使用 \not 组合符号。

下面列举常见的二元关系符。

因为：\because 命令：$\because$

所以：\therefor 命令：$\therefore$

包含于：\subseteq 命令：$\subseteq$

不等于：\neq 或 \ne 命令：$\neq$

小于等于：\leq 或 \le 命令：$\leq$

大于等于：\geq 或 \ge 命令：$\geq$

\ll 命令：$\ll$

\gg 命令：$\gg$

属于：\in 命令：$\in$

不属于：\notin 命令：$\notin$

\ni 或 \owns 命令：$\ni$

恒等 或者 同或：\equiv 命令：$\equiv$

\sim 命令：$\sim$

约等于：\approx 命令：$\approx$

相似：\simeq 命令：$\simeq$

全等：\cong 命令：$\cong$

包含：\subseteq 命令：$\subseteq$

\supseteq 命令：$\supseteq$

真包含：\subset 命令：$\subset$

\supset 命令：$\supset$

垂直：\perp 命令：$\perp$

\parallel 命令：$\parallel$

下面列举常见的箭头符号。基本上都是 \arrow 的变体。

单、双向箭头

\leftarrow 或 \gets 命令：$\leftarrow$

\rightarrow 或 \to 命令：$\rightarrow$

\leftrightarrow 命令：$\leftrightarrow$

首字母大写

\Leftarrow 命令：$\Leftarrow$

\Rightarrow 命令：$\Rightarrow$

\Leftrightarrow 命令：$\Leftrightarrow$

上面箭头的加长形式：加 long（举出一例）（双杠仍然是首字母 L 大写）

\Longrightarrow 命令：$\Longrightarrow$

上面箭头的否定形式：加 n（仅举一例）

\nRightarrow 命令：$\nRightarrow$

可逆箭头

\rightleftharpoons 命令：$\rightleftharpoons$

上下箭头

\uparrow 命令：$\uparrow$

\downarrow 命令：$\downarrow$

\updownarrow 命令：$\updownarrow$

首字母大写

\Uparrow 命令：$\Uparrow$

\Downarrow 命令：$\Downarrow$

\Updownarrow 命令：$\Updownarrow$

斜向箭头

\nearrow 命令：$\nearrow$

\searrow 命令：$\searrow$

\swarrow 命令：$\swarrow$

\nwarrow 命令：$\nwarrow$

这组命令很有规律。

• 东南 -> south-east -> se
• 东北 -> north-east -> ne
• 西北 -> north-west -> nw
• 西南 -> south-west -> sw

添加说明的可延长箭头

使用 \xleftarrow 和 \xrightarrow 命令，可以在上下方添加说明，参数是上方说明，可选参数是下方说明。

$$ A \xleftarrow{0<x<1>} B \xrightarrow[x \leq 1]{x \geq 1} C $$

逻辑符号命令

使用 \iff，\implies，\impliedby，\And 命令用于逻辑表达式。符号和一般的箭头相同，但是间距比一般的运算符和关系符大一些，意义也更明显。

\iff 命令：$\iff$

\implies 命令：$\implies$

\impliesby 命令：$\impliedby$

\And 命令：$\And$

一个例子。

$$ x=y \implies x+a=y+a \\ x=y \impliedby x+a=y+a \\ x=y \iff x \le y \And x \ge y $$

3.4 括号和定界符

3.4.1 括号

数学公式离不开括号的使用。括号种类大致有圆括号 $(\,)$、方括号 $[\,]$、花括号 $\{\,\}$、尖括号 $\langle\,\rangle$ 等等。在 $\LaTeX$ 中，括号被分为开括号和闭括号，显然，开括号是左边的括号，闭括号是右边的括号。

能从键盘上直接输入的符号有圆括号 $(\,)$、方括号 $[\,]$、花括号 $\{\,\}$，其余均有用命令输入。

尖括号：\langle 和 \rangle 命令：$\langle\, \And \,\rangle$

向下取整：\lfloor 和 \rfloor 命令：$\lfloor\, \And \,\rfloor$

向上取整：\lceil 和 \rceil 命令：$\lceil\, \And \,\rceil$

3.4.2 定界符

定界符的概念更为广泛。定界符通常就是公式两侧的括号，但也有时表示其他的符号。定界符有一个特别有用的性质，就是它可以按需要改变大小。

使用 \left 和 \right 命令得到的。它们分别把作为其参数的定界符转换为开符号和闭符号，同使得定界符可以按中间的内容的高度自动调节大小。

$$ \partial_x \partial_y \left[ \frac 12 \left( x^2+y^2 \right)^2 + xy \right] $$

\left 和 \right 命令用来配对的定界符可以不是同一种符号，甚至可以用一个句号 $.$ 表示空的定界符。例如：

$$ \left. \int_0^x f(t,\lambda) \,\mathrm{d}t \right|_{x=1}, \qquad \lambda \in \left[\frac 12,\infty\right). $$

还有一个 \middle 命令，它可以在 \left 和 \right 的中间再加一个定界符，如：

$$ \Pr \left( X>\frac 12 \middle \vert Y=0 \right) =\left. \int_0^1 p(t) \,\mathrm{d}t \middle/ (N^2+1) \right. $$

手动调整定界符略。

3.5 标点

3.5.1 数学标点

数学标点只有 5 个。逗号、分号、叹号、问号和冒号，前面四个都可以从键盘上输入，冒号的命令是：\colon，注意它和直接从键盘上输入的二元关系符 $:$ 的区别（略，因为用的不多）。

键盘上的圆点 $.$ 在数学公式中是普通符号，通常表示为小数点。不过在显示公式的末尾也常常用它表示句号，在行末无须为后面的间距问题困扰。

3.5.2 数学省略号

省略号并不属于 $TeX$ 的数学标点类型，但确是公式中常用的标点符号。

在数学公式中，水平的省略号有两种：

1. 圆点在基线位置的 \ldots ($\ldots$)
2. 圆点在中间位置的 \cdots ($\cdots$)

位置较低的 \ldots 主要用在逗号之间，如：

$$ (1,\cdots,n) $$

位置在中间的 \cdots 则用在二元运算符、关系符之间，如：

$$ 1+\cdots+n $$

或者表示没有乘号的连乘积，如：

$$ a_1 \cdots a_n $$

或者连接多个积分号，如：

$$ \int_0^1 \cdots \int_0^1 $$

下面给出其他省略号的命令。

首先是不同方向的省略号，多用于排版矩阵。

\vdots 命令：$\vdots$

\ddots 命令：$\ddots$

再是依照具体情形设定的省略号类型，分别是：

逗号（comma）：\dotsc 命令：$\dotsc$

二元运算或关系符（binary）：\dotsb 命令：$\dotsb$

乘法运算（multiplication）：\dotsm 命令：$\dotsm$

积分（integral）：\dotsc 命令：$\dotsi$

其他情形（other）：\dotso 命令：$\dotso$

虽然 \dots 有一定的自动识别功能，但是在 \dots 无法正常识别的时候就可以使用上面的命令，如连乘和积分：

$$ \prod_{i=1}^n a_i = a_1 \dotsm a_n \qquad \int_0^1 \dotsi \int_0^1 $$

4 多行公式

我们经常会遇到线性方程组、分段函数、以及非常长的公式。下面来探究如何用显示公式来表示它们。

4.1 多个公式

在 Typora 中，最简单的换行方法是直接使用 \\ 换行。

输入多行数学公式最基本的方法是：使用 gather 和 gather* （不编号）环境，使用 \\ 换行，如：

gather 环境：

$$ \begin{gather} a + b = b + a \\ a \times b = b \times a \end{gather} $$

gather* 环境：

$$ \begin{gather*} 3+5 = 5+3 = 8 \\ 3 \times 5 = 5 \times 3 \end{gather*} $$

gather 环境得到的公式是每行居中的，align 和 align* 环境则允许公式按等号或者其他关系符对齐，在关系符前加 & 表示对齐。例如：

$$ \begin{align} x &= t + \cos t + 1 \\ y &= 2 \sin t \end{align} $$

align 和 align* 环境还允许排列多列对齐的公式，列与列之间仍使用 & 分隔：

$$ \begin{align*} x &= t & x &= \cos t & x &= t \\ y &= 2t & y &= \sin(t+1) & y &= \sin t \end{align*} $$

需要注意的是，align 环境中的列分隔符 & 一般应该放在二元关系符的前面，但有时候也可以放在后面。如果个别需要在关系符后面或其他地方对齐的，则应该注意使用的符号类型。下面举一个连等公式的例子。

实话说这个例子记住就好了。关系符后对齐，需要使用空的分组代替关系符右侧符号，保证间距。

$$ \begin{align*} & (a+b)(a^2-ab+b^2) \\ ={} & a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 +b^2 \\ ={} & a^3 + b^3 \end{align*} $$

4.2 拆分单个公式

首先是 \multline 环境和 \multline* 环境，可使用 \\ 换行。各行对齐的方式是：第一行左对齐，最后一行右对齐，中间的部分居中。不过左右两边和版心边界都留有一小段间距。这种环境特别适合排版非常长的连续运算，如：

$$ \begin{multline} a+b+c \\ +d+e+f \\ +j+k+l \end{multline} $$

给多行公式只产生一个编号要使用 \split 环境。\split 环境并不开始一个数学公式，它是使用在 equation、gather 等数学环境里的；\split 环境不产生编号，编号仍然由外面的数学环境产生。因此多行公式只产生了一个编号。

$$ \begin{equation} \begin{split} \cos 2x &= \cos^2 x - \sin^2 x \\ &= 2\cos^2 x - 1 \end{split} \end{equation} $$

比如这里数字逻辑设计中逻辑代数的一个公式，有两个变形，三个等式合起来算一个公式,因此只有一个编号。

$$ \begin{equation} \begin{split} AB + A'C + BC &= AB + A'C \\ AB + A'C+ BCD &= AB+ A'C \\ (A + B)(B + C)(A' + C) &= (A + B)(A' + C) \end{split} \end{equation} $$

4.3 将公式组合成块

最为常见的是 \cases 环境，它在几行公式前面用花括号括起来，用来表示几种不同的情况。每行公式使用 & 分隔为两部分，通常表示值和后面的条件，例如：

$$ \begin{equation} D(x) = \begin{cases} 1, & \text{if } x \in \mathbb{Q}; \\ 0, & \text{if } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}. \end{cases} \end{equation} $$

还有几个常见的组合公式块的环境，它们的环境名通常是在原来的环境名的动词后面加 ed，包括 gathered 环境、aligned 环境和 alignedat 环境等。

gathered 环境把几行公式居中排列，组合为一个整体，如：

$$ \left. \begin{gathered} S \subseteq T \\ S \supseteq T \end{gathered} \right\} \implies S = T $$